5.Binomial Queue
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1. Definition¶
- target：左式堆将插入、合并和删除最小元的操作控制在\(O(logN)\)，尽管时间已经够少了，但二项队列进一步降低了这个时间。二项队列（binomial tree）以最坏时间\(O(logN)\)支持合并和删除，并且插入操作平均花费常数时间。
- 二项队列不是一棵树，而是树的集合，称为森林，这里的树有特定的形式，同时也具有堆序性，叫做二项树（binomial tree）。如图为一个二项队列，有B0, B1, B2, B3, B4五棵二项树。可以看到，二项队列具有以下特性：
- 高度为k的二项树\(B_k\)通过将高度为\(B_{k-1}\)的二项树接到另外一棵高度为\(B_{k-1}\)的二项树的根上构成；
- 二项树\(B_{k}\)由一个带有儿子\(B_0\)，\(B_1\)·····\(B_{k-1}\)的根组成（形状上），从\(B_{k}\)的构成过程可以知道这个特性，在构成\(B_{3}\)的过程中，经历了根节点接上\(B_{0}\)，\(B_{1}\)，\(B_{2}\)的过程；
- 高度为k的树有\(2^k\)个节点，第k棵树的节点会等于第k-1棵树的节点乘2；
- 对于每个\(B_k\)，深度d处的节点数为二项系数\(C_k^d\)；
2. Operations¶
2.1 FindMin¶
- 最小的值就在根中，而根最多有\(logN\)，所以时间复杂度\(O(logN)\)；
- 我们可以跟踪记录最小的根，那么时间复杂度就变成了\(O(1)\)；
2.2 Merge¶
- Must keep the trees in the binomial queue sorted by height；
- 时间复杂度为\(O(logN)\)；
2.3 Inset¶
- 可以看成是特殊情况的merge；
2.4 DeleteMin¶
2.5 Decrease key¶
-
-
减少key的值，这样的话为了保持堆的有序性，要不断地与父亲进行比较交换，时间复杂的为\(O(logN)\)；
3. Implementation¶
| 操作 | 性质 | 解决方法 |
|---|---|---|
| DeleteMin | 要快速找到所有的subtree | 用链表实现Left-child-next-sibing |
| Merge | 孩子要跟据大小进行排序 | 新的树一定是最大的，以此来维持大小排序； |
数据结构
注意注意，真正实现二项树使用firstchild-nextsibling的方法！这里的编程细节比较多，容易出填空题啥的......反正这些算法实现都挺重要的！
两个感叹号可以把任何一个数转化成1或者0；
4. 摊还分析¶
- A binomial queue of N elements can be built by \(N\) successive insertions in \(O(N)\) time.
Proof1(Aggregate normal)
- 如图所示，step表示插入代价，link表示连接代价，link其实就是进位；
- 所以总的step代价就是n，link代价其实也是\(O(n)\)，得证；
- 观察，发现，插入代价越小，树的数目就会增加；
- 代价为1，数目加一；代价为2，数目不变，代价为3，数目减一……
Proof1(Aggregate yds)
- 如果最后一个树是0，那么cost就是1，如果倒数第二颗树是0，那么cost就是2，这样子以此类推……
- 所以最后是0的有n/2个，最后是01结尾的有n/4个……
-
然后加起来就对了；
-
Proof2
- 根据树的变化数目就是2-cost；
- \(C_i\) 表示第i步插入的实际cost，\(φ_i\) 表示经过第i步插入后树的数量；
-
-
-
参考资料
- ADS05ppt
- 智云课堂：2022yds，2023wc
- 小角龙(18)复习笔记.pdf
- JerryG(20)复习笔记.pdf
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