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2.Red-Black Trees&B+ Trees

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Red-Black Trees

1. Definition

A red-black tree is a binary search tree that satisfies the following red-black properties:

  • Every node is either red or black.
  • The root is black.（头尾都是黑）
  • Every leaf (NIL，外部结点) is black.
    • NIL结点是原来的整棵树的结点数加一；
  • If a node is red, then both its children are black.（不可能有两个红的相连）
    • 保证红的肯定比黑的少；
  • For each node, all simple paths from the node to descendant leaves contain the same number of black nodes.
    • 保证黑点数量一样，保证每一条path的长度比不会超过2，树的高度不会超过两倍的黑高；

平衡二叉树

高度保持logN的二叉树；

black-height(bh)

是指从当前点（不包括当前点）到叶结点路径中，黑色结点的个数，bh(Tree)=bh(root)；

规律

A red-black tree with N internal nodes has height at most 2ln(N +1).

证明：image-20230308103024175

image-20230308103052307

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红黑树生成网站

2. Insert

速记

叔叔是红的，变成一红带两黑；叔叔是黑的，变成一黑带两红；

加入红色结点，如果加在黑点后面，那就结束了，如果加在红色结点后面，那么就有后面几种情况：

判断不同的情况直接看uncle（上一代的subling），如果是红的，就是情况一，如果是黑的就是情况二三；

  • case1: 改变一下颜色，把这棵子树的的根结点记为P（现在是红色）；

    • 如果P就是整棵树的根结点，直接标黑；
    • 如果P的父母是黑的，没事；
    • 如果P的父母是红的，那就又冲突了；

  • case2: 做一次rotate后变成case3；image-20230308154810727

  • case3: 改变一下颜色，做一次rotate；image-20230308154637646
  • 一次插入最多两次旋转，代价非常小，T = \(O( h )\) = \(O( lnN )\) ；

image-20230308133513836

3. Delete

推论

推论：如果有一个节点，只有一个子节点，那么这个结点一定是黑色，而子节点一定是红色； image-20230425232645131

  • 跟二叉搜索树一样地进行删除操作，到最后一定会退化成删除单个节点，或只有一个子树的节点；
  • 恢复红黑树的性质；
    • 若删除叶子红色节点，直接删除即可；
    • 若删除单子树节点，那么这个节点一定是黑色的（刚刚上面的推论），那么也很简单，直接删除，把后面的接上来并修改颜色即可；

    • 稍微复杂的是删除单个黑节点；

      • 黑兄弟，右红侄/双红侄（无论黑兄弟有没有左孩子，无论父亲什么颜色）：左旋父，祖染父色，父叔黑；image-20230308212459254image-20230425232753425
      • 黑兄弟，左红侄（当没有右红侄的时候，无论父亲什么颜色）：右旋兄，交换兄弟与其右子颜色，变成情况一；image-20230308212449069image-20230425232802892

      • 黑兄弟，双黑侄（其实是两个NIL节点，无关父亲颜色）：兄弟红，用递归，遇根或红节点，染黑回；image-20230425233658556image-20230308210744359

      • 红兄弟：左旋父，父、祖换色，变成前三种情况递归处理；image-20230308212433112image-20230425233931185

4. Compare

rotation次数表格 AVL 红黑树
Insertion \(\le2\) \(\le2\)
Deletion \(O(logN)\) \(\le3\)

B+ Trees

1. Definition

A B+ tree of order M is a tree with the following structural properties：

  • The root is either a leaf or has between 2 and M children.（树的根或者是一片树叶，或者其儿子数在2和M之间）
  • All nonleaf nodes (except the root) have between [M/2] and M children.
  • All leaves are at the same depth.

Tip

数据库的基础，先索引（在内存），再寻址（在硬盘）。

B-树就是非叶节点也存储信息；

2. Insert

3. Delete

  • delete如果到了下限，先看兄弟们有没有能合并的，如果没有，再把父节点下移；

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大佬博客

参考资料

  1. ADS02RBTree_Stu.ppt

  2. 中国大学mooc

  3. B站五号智能

  4. 智云课堂：2023myc，2022hqm，2022yds

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