import torch
x = torch.tensor(3.0)
y = torch.tensor(2.0)
x + y, x * y, x / y, x**y
(tensor(5.), tensor(6.), tensor(1.5000), tensor(9.))
2.3.2 向量¶
向量可以被视为标量值组成的列表。 这些标量值被称为向量的元素（element）或分量（component）。 在数学表示法中，向量通常记为粗体、小写的符号 （例如，$\mathbf{x}$、$\mathbf{y}$和$\mathbf{z})$）。
人们通过一维张量表示向量。
x = torch.arange(4)
x
tensor([0, 1, 2, 3])
我们可以使用下标来引用向量的任一元素，例如可以通过$x_i$来引用第$i$个元素。 注意，元素$x_i$是一个标量，所以我们在引用它时不会加粗。 大量文献认为列向量是向量的默认方向。 在数学中，向量$\mathbf{x}$可以写为：
$$\mathbf{x} =\begin{bmatrix}x_{1} \\x_{2} \\ \vdots \\x_{n}\end{bmatrix},$$
其中$x_1,\ldots,x_n$是向量的元素。在代码中，我们通过张量的索引来访问任一元素。
x[3]
tensor(3)
长度、维度和形状¶
在数学表示法中，如果我们想说一个向量$\mathbf{x}$由$n$个实值标量组成， 可以将其表示为$\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$。 向量的长度通常称为向量的维度（dimension）。
与普通的Python数组一样，我们可以通过调用Python的内置len()函数来访问张量的长度。
len(x)
4
当用张量表示一个向量（只有一个轴）时，我们也可以通过.shape属性访问向量的长度。
x.shape
torch.Size([4])
- 向量或轴的维度被用来表示向量或轴的长度，即向量或轴的元素数量。
- 而张量的维度用来表示张量具有的轴数。
2.3.3 矩阵¶
矩阵，我们通常用粗体、大写字母来表示 （例如，$\mathbf{X}$、$\mathbf{Y}$和$\mathbf{Z}$）， 在代码中表示为具有两个轴的张量。
数学表示法使用$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 来表示矩阵$\mathbf{A}$，其由$m$行和$n$列的实值标量组成。 我们可以将任意矩阵$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$视为一个表格， 其中每个元素$a_{ij}$属于第$i$行第$j$列：
$$\mathbf{A}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix}.$$
对于任意$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$， $\mathbf{A}$的形状是（$m$,$n$）或$m \times n$。
当调用函数来实例化张量时， 我们可以通过指定两个分量$m$和$n$来创建一个形状为$m \times n$的矩阵。
A = torch.arange(20).reshape(5, 4)
A
tensor([[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11],
[12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19]])
我们可以通过行索引（$i$）和列索引（$j$）来访问矩阵中的标量元素$a_{ij}$， 例如$[\mathbf{A}]_{ij}$。 如果没有给出矩阵$\mathbf{A}$的标量元素， 我们可以简单地使用矩阵$\mathbf{A}$的小写字母索引下标$a_{ij}$ 来引用$[\mathbf{A}]_{ij}$。
当我们交换矩阵的行和列时，结果称为矩阵的转置（transpose）。 通常用$\mathbf{a}^\top$来表示矩阵的转置，如果$\mathbf{B}=\mathbf{A}^\top$， 则对于任意$i$和$j$，都有$b_{ij}=a_{ji}$。 因此，在中的转置是一个形状为$n \times m$的矩阵：
$$ \mathbf{A}^\top = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}. $$
现在在代码中访问矩阵的转置。
A.T
tensor([[ 0, 4, 8, 12, 16],
[ 1, 5, 9, 13, 17],
[ 2, 6, 10, 14, 18],
[ 3, 7, 11, 15, 19]])
作为方阵的一种特殊类型，对称矩阵（symmetric matrix）$\mathbf{A}$等于其转置：$\mathbf{A} = \mathbf{A}^\top$ 。 这里定义一个对称矩阵$\mathbf{B}$：
B = torch.tensor([[1, 2, 3], [2, 0, 4], [3, 4, 5]])
B
tensor([[1, 2, 3],
[2, 0, 4],
[3, 4, 5]])
现在我们将B与它的转置进行比较。
B == B.T
tensor([[True, True, True],
[True, True, True],
[True, True, True]])
矩阵是有用的数据结构：它们允许我们组织具有不同模式的数据。 因此，尽管单个向量的默认方向是列向量，但在表示表格数据集的矩阵中， 将每个数据样本作为矩阵中的行向量更为常见。 后面的章节将讲到这点，这种约定将支持常见的深度学习实践。 例如，沿着张量的最外轴，我们可以访问或遍历小批量的数据样本。
2.3.4 张量¶
张量是描述具有任意数量轴的$n$维数组的通用方法。 例如，向量是一阶张量，矩阵是二阶张量。 张量用特殊字体的大写字母表示（例如，$\mathsf{X}$、$\mathsf{Y}$和$\mathsf{Z}$）， 它们的索引机制（例如$x_{ijk}$和$[\mathsf{X}]_{1,2i-1,3}$）与矩阵类似。
当我们开始处理图像时，张量将变得更加重要，图像以$n$维数组形式出现， 其中3个轴对应于高度、宽度，以及一个通道（channel）轴， 用于表示颜色通道（红色、绿色和蓝色）。
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
X
tensor([[[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11]],
[[12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19],
[20, 21, 22, 23]]])
2.3.5 张量算法的基本性质¶
标量、向量、矩阵和任意数量轴的张量有一些实用的属性。 给定具有相同形状的任意两个张量，任何按元素二元运算的结果都将是相同形状的张量。
A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
B = A.clone() # 通过分配新内存，将A的一个副本分配给B
A, A + B
(tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.],
[16., 17., 18., 19.]]),
tensor([[ 0., 2., 4., 6.],
[ 8., 10., 12., 14.],
[16., 18., 20., 22.],
[24., 26., 28., 30.],
[32., 34., 36., 38.]]))
具体而言，两个矩阵的按元素乘法称为Hadamard积（Hadamard product）（数学符号$\odot$）。
A * B
tensor([[ 0., 1., 4., 9.],
[ 16., 25., 36., 49.],
[ 64., 81., 100., 121.],
[144., 169., 196., 225.],
[256., 289., 324., 361.]])
将张量乘以或加上一个标量不会改变张量的形状，其中张量的每个元素都将与标量相加或相乘。
a = 2
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
a + X, (a * X).shape
(tensor([[[ 2, 3, 4, 5],
[ 6, 7, 8, 9],
[10, 11, 12, 13]],
[[14, 15, 16, 17],
[18, 19, 20, 21],
[22, 23, 24, 25]]]),
torch.Size([2, 3, 4]))
2.3.6 降维¶
我们可以对任意张量进行的一个有用的操作是计算其元素的和。 数学表示法使用$\sum$符号表示求和。
x = torch.arange(4, dtype=torch.float32)
x, x.sum()
(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor(6.))
默认情况下，调用求和函数会沿所有的轴降低张量的维度，使它变为一个标量。
我们还可以指定张量沿哪一个轴来通过求和降低维度。
以矩阵为例，为了通过求和所有行的元素来降维（轴0），可以在调用函数时指定axis=0。
由于输入矩阵沿0轴降维以生成输出向量，因此输入轴0的维数在输出形状中消失。
A
tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.],
[16., 17., 18., 19.]])
A_sum_axis0 = A.sum(axis=0)
A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape
(tensor([40., 45., 50., 55.]), torch.Size([4]))
指定axis=1将通过汇总所有列的元素降维（轴1）。因此，输入轴1的维数在输出形状中消失。
A_sum_axis1 = A.sum(axis=1)
A_sum_axis1, A_sum_axis1.shape
(tensor([ 6., 22., 38., 54., 70.]), torch.Size([5]))
沿着行和列对矩阵求和，等价于对矩阵的所有元素进行求和。
A.sum(axis=[0, 1]) # 结果和A.sum()相同
tensor(190.)
***平均值*（mean或average）**。
A.mean(), A.sum() / A.numel()
(tensor(9.5000), tensor(9.5000))
同样，计算平均值的函数也可以沿指定轴降低张量的维度。
A.mean(axis=0), A.sum(axis=0) / A.shape[0]
(tensor([ 8., 9., 10., 11.]), tensor([ 8., 9., 10., 11.]))
非降维求和¶
但是，有时在调用函数来计算总和或均值时保持轴数不变会很有用。
sum_A = A.sum(axis=1, keepdims=True)
sum_A
tensor([[ 6.],
[22.],
[38.],
[54.],
[70.]])
例如，由于sum_A在对每行进行求和后仍保持两个轴，我们可以(通过广播将A除以sum_A)。
A / sum_A
tensor([[0.0000, 0.1667, 0.3333, 0.5000],
[0.1818, 0.2273, 0.2727, 0.3182],
[0.2105, 0.2368, 0.2632, 0.2895],
[0.2222, 0.2407, 0.2593, 0.2778],
[0.2286, 0.2429, 0.2571, 0.2714]])
如果我们想沿某个轴计算A元素的累积总和，
比如axis=0（按行计算），可以调用cumsum函数。
此函数不会沿任何轴降低输入张量的维度。
A.cumsum(axis=0)
tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 6., 8., 10.],
[12., 15., 18., 21.],
[24., 28., 32., 36.],
[40., 45., 50., 55.]])
2.3.7 点积（Dot Product）¶
给定两个向量$\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^d$， 它们的点积（dot product）$\mathbf{x}^\top\mathbf{y}$ （或$\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle$） 是相同位置的按元素乘积的和：$\mathbf{x}^\top \mathbf{y} = \sum_{i=1}^{d} x_i y_i$。
y = torch.ones(4, dtype = torch.float32)
x, y, torch.dot(x, y)
(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor([1., 1., 1., 1.]), tensor(6.))
注意，我们也可以通过执行按元素乘法，然后进行求和来表示两个向量的点积：
torch.sum(x * y)
tensor(6.)
点积在很多场合都很有用。
- 例如，给定一组由向量$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d$表示的值，和一组由$\mathbf{w} \in \mathbb{R}^d$表示的权重。$\mathbf{x}$中的值根据权重$\mathbf{w}$的加权和，可以表示为点积$\mathbf{x}^\top \mathbf{w}$。
- 当权重为非负数且和为1（即$\left(\sum_{i=1}^{d}{w_i}=1\right)$）时，点积表示加权平均（weighted average）。
- 将两个向量规范化得到单位长度后，点积表示它们夹角的余弦。
2.3.8 矩阵-向量积¶
定义矩阵$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$和向量$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$。 让我们将矩阵$\mathbf{A}$用它的行向量表示：
$$\mathbf{A}= \begin{bmatrix} \mathbf{a}^\top_{1} \\ \mathbf{a}^\top_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{a}^\top_m \\ \end{bmatrix},$$
其中每个$\mathbf{a}^\top_{i} \in \mathbb{R}^n$都是行向量，表示矩阵的第$i$行。 矩阵向量积$\mathbf{A}\mathbf{x}$是一个长度为$m$的列向量，其第$i$个元素是点积$\mathbf{a}^\top_i \mathbf{x}$：
$$ \mathbf{A}\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}^\top_{1} \\ \mathbf{a}^\top_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{a}^\top_m \\ \end{bmatrix}\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}^\top_{1} \mathbf{x} \\ \mathbf{a}^\top_{2} \mathbf{x} \\ \vdots\\ \mathbf{a}^\top_{m} \mathbf{x}\\ \end{bmatrix}. $$
我们可以把一个矩阵$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$乘法看作一个从$\mathbb{R}^{n}$到$\mathbb{R}^{m}$向量的转换。 这些转换是非常有用的，例如可以用方阵的乘法来表示旋转。 后续章节将讲到，我们也可以使用矩阵-向量积来描述在给定前一层的值时， 求解神经网络每一层所需的复杂计算。
在代码中使用张量表示矩阵-向量积，我们使用mv函数。
当我们为矩阵A和向量x调用torch.mv(A, x)时，会执行矩阵-向量积。
注意，A的列维数（沿轴1的长度）必须与x的维数（其长度）相同。
A, x
(tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.],
[16., 17., 18., 19.]]),
tensor([0., 1., 2., 3.]))
A.shape, x.shape, torch.mv(A, x)
(torch.Size([5, 4]), torch.Size([4]), tensor([ 14., 38., 62., 86., 110.]))
2.3.9 矩阵-矩阵乘法¶
假设有两个矩阵$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times k}$和$\mathbf{B} \in \mathbb{R}^{k \times m}$：
$$\mathbf{A}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nk} \\ \end{bmatrix},\quad \mathbf{B}=\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1m} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{k1} & b_{k2} & \cdots & b_{km} \\ \end{bmatrix}.$$
用行向量$\mathbf{a}^\top_{i} \in \mathbb{R}^k$表示矩阵$\mathbf{A}$的第$i$行，并让列向量$\mathbf{b}_{j} \in \mathbb{R}^k$作为矩阵$\mathbf{B}$的第$j$列。要生成矩阵积$\mathbf{C} = \mathbf{A}\mathbf{B}$，最简单的方法是考虑$\mathbf{A}$的行向量和$\mathbf{B}$的列向量:
$$\mathbf{A}= \begin{bmatrix} \mathbf{a}^\top_{1} \\ \mathbf{a}^\top_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{a}^\top_n \\ \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B}=\begin{bmatrix} \mathbf{b}_{1} & \mathbf{b}_{2} & \cdots & \mathbf{b}_{m} \\ \end{bmatrix}. $$ 当我们简单地将每个元素$c_{ij}$计算为点积$\mathbf{a}^\top_i \mathbf{b}_j$:
$$\mathbf{C} = \mathbf{AB} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}^\top_{1} \\ \mathbf{a}^\top_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{a}^\top_n \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{b}_{1} & \mathbf{b}_{2} & \cdots & \mathbf{b}_{m} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}^\top_{1} \mathbf{b}_1 & \mathbf{a}^\top_{1}\mathbf{b}_2& \cdots & \mathbf{a}^\top_{1} \mathbf{b}_m \\ \mathbf{a}^\top_{2}\mathbf{b}_1 & \mathbf{a}^\top_{2} \mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{a}^\top_{2} \mathbf{b}_m \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ \mathbf{a}^\top_{n} \mathbf{b}_1 & \mathbf{a}^\top_{n}\mathbf{b}_2& \cdots& \mathbf{a}^\top_{n} \mathbf{b}_m \end{bmatrix}. $$
我们可以将矩阵-矩阵乘法$\mathbf{AB}$看作简单地执行$m$次矩阵-向量积，并将结果拼接在一起，形成一个$n \times m$矩阵。
在下面的代码中，我们在A和B上执行矩阵乘法。
这里的A是一个5行4列的矩阵，B是一个4行3列的矩阵。
两者相乘后，我们得到了一个5行3列的矩阵。
B = torch.ones(4, 3)
torch.mm(A, B)
tensor([[ 6., 6., 6.],
[22., 22., 22.],
[38., 38., 38.],
[54., 54., 54.],
[70., 70., 70.]])
2.3.10 范数¶
非正式地说，向量的范数是表示一个向量有多大。 这里考虑的大小（size）概念不涉及维度，而是分量的大小。
在线性代数中，向量范数是将向量映射到标量的函数$f$。 给定任意向量$\mathbf{x}$，向量范数要满足一些属性。
第一个性质是：如果我们按常数因子$\alpha$缩放向量的所有元素， 其范数也会按相同常数因子的绝对值缩放：
$$f(\alpha \mathbf{x}) = |\alpha| f(\mathbf{x}).$$
第二个性质是熟悉的三角不等式:
$$f(\mathbf{x} + \mathbf{y}) \leq f(\mathbf{x}) + f(\mathbf{y}).$$
第三个性质简单地说范数必须是非负的:
$$f(\mathbf{x}) \geq 0.$$
最后一个性质要求范数最小为0，当且仅当向量全由0组成。
$$\forall i, [\mathbf{x}]_i = 0 \Leftrightarrow f(\mathbf{x})=0.$$
欧几里得距离是一个$L_2$范数： 假设$n$维向量$\mathbf{x}$中的元素是$x_1,\ldots,x_n$，其$L_2$范数是向量元素平方和的平方根：
$$\|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2},$$
其中，在$L_2$范数中常常省略下标$2$，也就是说$\|\mathbf{x}\|$等同于$\|\mathbf{x}\|_2$。 在代码中，我们可以按如下方式计算向量的$L_2$范数。
u = torch.tensor([3.0, -4.0])
torch.norm(u)
tensor(5.)
深度学习中也会经常遇到$L_1$范数，它表示为向量元素的绝对值之和：
$$\|\mathbf{x}\|_1 = \sum_{i=1}^n \left|x_i \right|.$$
与$L_2$范数相比，$L_1$范数受异常值的影响较小。
torch.abs(u).sum()
tensor(7.)
$L_2$范数和$L_1$范数都是更一般的$L_p$范数的特例：
$$\|\mathbf{x}\|_p = \left(\sum_{i=1}^n \left|x_i \right|^p \right)^{1/p}.$$
类似于向量的$L_2$范数，矩阵$\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{m \times n}$的Frobenius范数（Frobenius norm）是矩阵元素平方和的平方根：
$$\|\mathbf{X}\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n x_{ij}^2}.$$
Frobenius范数满足向量范数的所有性质，它就像是矩阵形向量的$L_2$范数。 调用以下函数将计算矩阵的Frobenius范数。
torch.norm(torch.ones((4, 9)))
tensor(6.)
范数和目标¶
在深度学习中，我们经常试图解决优化问题： 最大化分配给观测数据的概率; 最小化预测和真实观测之间的距离。 用向量表示物品（如单词、产品或新闻文章），以便最小化相似项目之间的距离，最大化不同项目之间的距离。
小结¶
- 标量、向量、矩阵和张量是线性代数中的基本数学对象。
- 向量泛化自标量，矩阵泛化自向量。
- 标量、向量、矩阵和张量分别具有零、一、二和任意数量的轴。
- 一个张量可以通过
sum和mean沿指定的轴降低维度。 - 两个矩阵的按元素乘法被称为他们的Hadamard积。它与矩阵乘法不同。
- 在深度学习中，我们经常使用范数，如$L_1$范数、$L_2$范数和Frobenius范数。
- 我们可以对标量、向量、矩阵和张量执行各种操作。
练习¶
证明一个矩阵$\mathbf{A}$的转置的转置是$\mathbf{A}$，即$(\mathbf{A}^\top)^\top = \mathbf{A}$。
A = torch.rand(2,3)
A
tensor([[0.9733, 0.2417, 0.0883],
[0.2444, 0.5236, 0.8675]])
A.T.T == A
tensor([[True, True, True],
[True, True, True]])
给出两个矩阵$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$，证明“它们转置的和”等于“它们和的转置”，即$\mathbf{A}^\top + \mathbf{B}^\top = (\mathbf{A} + \mathbf{B})^\top$。
B = torch.ones_like(A)
A.T + B.T == (A+B).T
tensor([[True, True],
[True, True],
[True, True]])
给定任意方阵$\mathbf{A}$，$\mathbf{A} + \mathbf{A}^\top$总是对称的吗?为什么?
$(\mathbf{A} + \mathbf{A}^\top)^\top = \mathbf{A}^\top + (\mathbf{A}^\top)^\top = \mathbf{A} + \mathbf{A}^\top$
本节中定义了形状$(2,3,4)$的张量X。len(X)的输出结果是什么？
X, len(X)
(tensor([[[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11]],
[[12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19],
[20, 21, 22, 23]]]),
2)
对于任意形状的张量X,len(X)是否总是对应于X特定轴的长度?这个轴是什么?
轴0
运行A/A.sum(axis=1)，看看会发生什么。请分析一下原因？
A
tensor([[0.9733, 0.2417, 0.0883],
[0.2444, 0.5236, 0.8675]])
A.sum(axis=1)
tensor([1.3033, 1.6355])
会报错，因为维度不对。A 是一个 2 * 3 的矩阵，而 A.sum(axis=1) 是一个大小为 2 的向量，两者不能相除。（注：广播只能发生在两者维数相同的情况下，比如都是二维）
考虑一个具有形状$(2,3,4)$的张量，在轴0、1、2上的求和输出是什么形状?
X = torch.arange(24).reshape(2,3,4)
X0_sum = X.sum(axis = 0)
X1_sum = X.sum(axis = 1)
X2_sum = X.sum(axis = 2)
X0_sum.shape, X1_sum.shape, X2_sum.shape
(torch.Size([3, 4]), torch.Size([2, 4]), torch.Size([2, 3]))
为linalg.norm函数提供3个或更多轴的张量，并观察其输出。对于任意形状的张量这个函数计算得到什么?
import numpy as np
np.linalg.norm(torch.ones((2, 3, 6)))
6.0
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