微积分¶
在深度学习中，我们“训练”模型，不断更新它们，使它们在看到越来越多的数据时变得越来越好。 通常情况下，变得更好意味着最小化一个损失函数（loss function）。 最终，我们真正关心的是生成一个模型，它能够在从未见过的数据上表现良好。 但“训练”模型只能将模型与我们实际能看到的数据相拟合。 因此，我们可以将拟合模型的任务分解为两个关键问题：
- 优化（optimization）：用模型拟合观测数据的过程；
- 泛化（generalization）：数学原理和实践者的智慧，能够指导我们生成出有效性超出用于训练的数据集本身的模型。
2.4.1 导数和微分¶
我们首先讨论导数的计算，这是几乎所有深度学习优化算法的关键步骤。 在深度学习中，我们通常选择对于模型参数可微的损失函数。 简而言之，对于每个参数， 如果我们把这个参数增加或减少一个无穷小的量，可以知道损失会以多快的速度增加或减少，
假设我们有一个函数$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$，其输入和输出都是标量。 如果$f$的导数存在，这个极限被定义为
$$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.$$
如果$f'(a)$存在，则称$f$在$a$处是可微（differentiable）的。 如果$f$在一个区间内的每个数上都是可微的，则此函数在此区间中是可微的。 我们可以将如上等式中的导数$f'(x)$解释为$f(x)$相对于$x$的瞬时（instantaneous）变化率。 所谓的瞬时变化率是基于$x$中的变化$h$，且$h$接近$0$。
为了更好地解释导数，让我们做一个实验。 定义$u=f(x)=3x^2-4x$如下：
%matplotlib inline
import numpy as np
from matplotlib_inline import backend_inline
from d2l import torch as d2l
def f(x):
return 3 * x ** 2 - 4 * x
通过令$x=1$并让$h$接近$0$， $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$的数值结果接近$2$。
def numerical_lim(f, x, h):
return (f(x + h) - f(x)) / h
h = 0.1
for i in range(5):
print(f'h={h:.5f}, numerical limit={numerical_lim(f, 1, h):.5f}')
h *= 0.1
h=0.10000, numerical limit=2.30000 h=0.01000, numerical limit=2.03000 h=0.00100, numerical limit=2.00300 h=0.00010, numerical limit=2.00030 h=0.00001, numerical limit=2.00003
让我们熟悉一下导数的几个等价符号。 给定$y=f(x)$，其中$x$和$y$分别是函数$f$的自变量和因变量。以下表达式是等价的：
$$f'(x) = y' = \frac{dy}{dx} = \frac{df}{dx} = \frac{d}{dx} f(x) = Df(x) = D_x f(x),$$
其中符号$\frac{d}{dx}$和$D$是微分运算符，表示微分操作。 我们可以使用以下规则来对常见函数求微分：
- $DC = 0$（$C$是一个常数）
- $Dx^n = nx^{n-1}$（幂律（power rule），$n$是任意实数）
- $De^x = e^x$
- $D\ln(x) = 1/x$
为了微分一个由一些常见函数组成的函数，下面的一些法则方便使用。 假设函数$f$和$g$都是可微的，$C$是一个常数，则：
常数相乘法则 $$\frac{d}{dx} [Cf(x)] = C \frac{d}{dx} f(x),$$
加法法则
$$\frac{d}{dx} [f(x) + g(x)] = \frac{d}{dx} f(x) + \frac{d}{dx} g(x),$$
乘法法则
$$\frac{d}{dx} [f(x)g(x)] = f(x) \frac{d}{dx} [g(x)] + g(x) \frac{d}{dx} [f(x)],$$
除法法则
$$\frac{d}{dx} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{g(x) \frac{d}{dx} [f(x)] - f(x) \frac{d}{dx} [g(x)]}{[g(x)]^2}.$$
现在我们可以应用上述几个法则来计算$u'=f'(x)=3\frac{d}{dx}x^2-4\frac{d}{dx}x=6x-4$。 令$x=1$，我们有$u'=2$：在这个实验中，数值结果接近$2$， 这一点得到了在本节前面的实验的支持。 当$x=1$时，此导数也是曲线$u=f(x)$切线的斜率。
为了对导数的这种解释进行可视化，我们将使用matplotlib，
这是一个Python中流行的绘图库。
要配置matplotlib生成图形的属性，我们需要定义几个函数。
在下面，use_svg_display函数指定matplotlib软件包输出svg图表以获得更清晰的图像。
注意，注释#@save是一个特殊的标记，会将对应的函数、类或语句保存在d2l包中。
因此，以后无须重新定义就可以直接调用它们（例如，d2l.use_svg_display()）。
def use_svg_display(): #@save
"""使用svg格式在Jupyter中显示绘图"""
backend_inline.set_matplotlib_formats('svg')
我们定义set_figsize函数来设置图表大小。
注意，这里可以直接使用d2l.plt，因为导入语句
from matplotlib import pyplot as plt已标记为保存到d2l包中。
def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)): #@save
"""设置matplotlib的图表大小"""
use_svg_display()
d2l.plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize
下面的set_axes函数用于设置由matplotlib生成图表的轴的属性。
#@save
def set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend):
"""设置matplotlib的轴"""
axes.set_xlabel(xlabel)
axes.set_ylabel(ylabel)
axes.set_xscale(xscale)
axes.set_yscale(yscale)
axes.set_xlim(xlim)
axes.set_ylim(ylim)
if legend:
axes.legend(legend)
axes.grid()
通过这三个用于图形配置的函数，定义一个plot函数来简洁地绘制多条曲线，
因为我们需要在整个书中可视化许多曲线。
#@save
def plot(X, Y=None, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), figsize=(3.5, 2.5), axes=None):
"""绘制数据点"""
if legend is None:
legend = []
set_figsize(figsize)
axes = axes if axes else d2l.plt.gca()
# 如果X有一个轴，输出True
def has_one_axis(X):
return (hasattr(X, "ndim") and X.ndim == 1 or isinstance(X, list)
and not hasattr(X[0], "__len__"))
if has_one_axis(X):
X = [X]
if Y is None:
X, Y = [[]] * len(X), X
elif has_one_axis(Y):
Y = [Y]
if len(X) != len(Y):
X = X * len(Y)
axes.cla()
for x, y, fmt in zip(X, Y, fmts):
if len(x):
axes.plot(x, y, fmt)
else:
axes.plot(y, fmt)
set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)
现在我们可以绘制函数$u=f(x)$及其在$x=1$处的切线$y=2x-3$， 其中系数$2$是切线的斜率。
x = np.arange(0, 3, 0.1)
plot(x, [f(x), 2 * x - 3], 'x', 'f(x)', legend=['f(x)', 'Tangent line (x=1)'])
2.4.2 偏导数¶
将微分的思想推广到多元函数（multivariate function）上。
设$y = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$是一个具有$n$个变量的函数。 $y$关于第$i$个参数$x_i$的偏导数（partial derivative）为：
$$ \frac{\partial y}{\partial x_i} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_1, \ldots, x_{i-1}, x_i+h, x_{i+1}, \ldots, x_n) - f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n)}{h}.$$
为了计算$\frac{\partial y}{\partial x_i}$， 我们可以简单地将$x_1, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_n$看作常数， 并计算$y$关于$x_i$的导数。 对于偏导数的表示，以下是等价的：
$$\frac{\partial y}{\partial x_i} = \frac{\partial f}{\partial x_i} = f_{x_i} = f_i = D_i f = D_{x_i} f.$$
2.4.3 梯度¶
我们可以连结一个多元函数对其所有变量的偏导数，以得到该函数的梯度（gradient）向量。 具体而言，设函数$f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$的输入是 一个$n$维向量$\mathbf{x}=[x_1,x_2,\ldots,x_n]^\top$，并且输出是一个标量。 函数$f(\mathbf{x})$相对于$\mathbf{x}$的梯度是一个包含$n$个偏导数的向量:
$$\nabla_{\mathbf{x}} f(\mathbf{x}) = \bigg[\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_1}, \frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_n}\bigg]^\top,$$
其中$\nabla_{\mathbf{x}} f(\mathbf{x})$通常在没有歧义时被$\nabla f(\mathbf{x})$取代。
假设$\mathbf{x}$为$n$维向量，在微分多元函数时经常使用以下规则:
- 对于所有$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$，都有$\nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{A}^\top$
- 对于所有$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times m}$，都有$\nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{x}^\top \mathbf{A} = \mathbf{A}$
- 对于所有$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}$，都有$\nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{x}^\top \mathbf{A} \mathbf{x} = (\mathbf{A} + \mathbf{A}^\top)\mathbf{x}$
- $\nabla_{\mathbf{x}} \|\mathbf{x} \|^2 = \nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{x}^\top \mathbf{x} = 2\mathbf{x}$
同样，对于任何矩阵$\mathbf{X}$，都有$\nabla_{\mathbf{X}} \|\mathbf{X} \|_F^2 = 2\mathbf{X}$。 正如我们之后将看到的，梯度对于设计深度学习中的优化算法有很大用处。
2.4.4 链式法则¶
然而，上面方法可能很难找到梯度。 这是因为在深度学习中，多元函数通常是复合（composite）的， 所以难以应用上述任何规则来微分这些函数。 幸运的是，链式法则可以被用来微分复合函数。
让我们先考虑单变量函数。假设函数$y=f(u)$和$u=g(x)$都是可微的，根据链式法则：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}.$$
现在考虑一个更一般的场景，即函数具有任意数量的变量的情况。 假设可微分函数$y$有变量$u_1, u_2, \ldots, u_m$，其中每个可微分函数$u_i$都有变量$x_1, x_2, \ldots, x_n$。 注意，$y$是$x_1, x_2， \ldots, x_n$的函数。 对于任意$i = 1, 2, \ldots, n$，链式法则给出：
$$\frac{\partial y}{\partial x_i} = \frac{\partial y}{\partial u_1} \frac{\partial u_1}{\partial x_i} + \frac{\partial y}{\partial u_2} \frac{\partial u_2}{\partial x_i} + \cdots + \frac{\partial y}{\partial u_m} \frac{\partial u_m}{\partial x_i}$$
小结¶
- 微分和积分是微积分的两个分支，前者可以应用于深度学习中的优化问题。
- 导数可以被解释为函数相对于其变量的瞬时变化率，它也是函数曲线的切线的斜率。
- 梯度是一个向量，其分量是多变量函数相对于其所有变量的偏导数。
- 链式法则可以用来微分复合函数。
练习¶
- 绘制函数$y = f(x) = x^3 - \frac{1}{x}$和其在$x = 1$处切线的图像。
- 求函数$f(\mathbf{x}) = 3x_1^2 + 5e^{x_2}$的梯度。
- 函数$f(\mathbf{x}) = \|\mathbf{x}\|_2$的梯度是什么？
- 尝试写出函数$u = f(x, y, z)$，其中$x = x(a, b)$，$y = y(a, b)$，$z = z(a, b)$的链式法则。
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