线性回归的从零开始实现¶

在这一节中，我们将从零开始实现整个方法， 包括数据流水线、模型、损失函数和小批量随机梯度下降优化器。

In [1]:

%matplotlib inline
import random
import torch
from d2l import torch as d2l

%matplotlib inline import random import torch from d2l import torch as d2l

3.2.1 生成数据集¶

为了简单起见，我们将根据带有噪声的线性模型构造一个人造数据集。 在下面的代码中，我们生成一个包含1000个样本的数据集， 每个样本包含从标准正态分布中采样的2个特征。 我们的合成数据集是一个矩阵$\mathbf{X}\in \mathbb{R}^{1000 \times 2}$。

我们使用线性模型参数$\mathbf{w} = [2, -3.4]^\top$、$b = 4.2$ 和噪声项$\epsilon$生成数据集及其标签：

$$\mathbf{y}= \mathbf{X} \mathbf{w} + b + \mathbf\epsilon.$$

$\epsilon$可以视为模型预测和标签时的潜在观测误差。 在这里我们认为标准假设成立，即$\epsilon$服从均值为0的正态分布。 为了简化问题，我们将标准差设为0.01。 下面的代码生成合成数据集。

如下synthetic_data函数：

• 使用 PyTorch 的 torch.normal 函数生成一个服从正态分布（均值为0，标准差为1）的矩阵 X，其行数为 num_examples，列数为权重向量 w 的长度；
• 然后计算 X 和 w 的矩阵乘法，然后加上偏差 b，得到初步的输出 y；
• 然后向 y 添加一些噪声。噪声也是正态分布的（均值为0，标准差为0.01），其形状与 y 相同。
• 最后返回生成的数据。X 是特征矩阵，y 被重塑为列向量，这样每行只有一个元素，表示每个样本的标签。

In [2]:

def synthetic_data(w, b, num_examples):  #@save
    """生成y=Xw+b+噪声"""
    X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))
    print(X.shape, w.shape)
    y = torch.matmul(X, w) + b
    y += torch.normal(0, 0.01, y.shape)
    return X, y.reshape((-1, 1))

def synthetic_data(w, b, num_examples): #@save """生成y=Xw+b+噪声""" X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w))) print(X.shape, w.shape) y = torch.matmul(X, w) + b y += torch.normal(0, 0.01, y.shape) return X, y.reshape((-1, 1))

In [3]:

true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

true_w = torch.tensor([2, -3.4]) true_b = 4.2 features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

torch.Size([1000, 2]) torch.Size([2])

注意，features中的每一行都包含一个二维数据样本， labels中的每一行都包含一维标签值（一个标量）。

In [4]:

print('features:', features[0],'\nlabel:', labels[0])

print('features:', features[0],'\nlabel:', labels[0])

features: tensor([-0.4006,  0.8250]) 
label: tensor([0.5948])

通过生成第二个特征features[:, 1]和labels的散点图， 可以直观观察到两者之间的线性关系。

• features[:, 1].detach().numpy()：这是散点图中的 x 轴数据。[:, 1] 表示选取所有样本的第二个特征；
• detach() 方法将数据从计算图中分离出来（在 PyTorch 中用于停止梯度计算）；
• numpy() 方法将张量转换为 NumPy 数组。
• labels.detach().numpy()：这是散点图中的 y 轴数据。
• 1：这是 scatter 函数的第三个参数，表示绘制的点的大小。在这里，大小被设置为 1。

In [5]:

d2l.set_figsize() # 设置绘图的尺寸
d2l.plt.scatter(features[:, 1].detach().numpy(), labels.detach().numpy(), 1);

d2l.set_figsize() # 设置绘图的尺寸 d2l.plt.scatter(features[:, 1].detach().numpy(), labels.detach().numpy(), 1);

3.2.2 读取数据集¶

回想一下，训练模型时要对数据集进行遍历，每次抽取一小批量样本，并使用它们来更新我们的模型。 由于这个过程是训练机器学习算法的基础，所以有必要定义一个函数， 该函数能打乱数据集中的样本并以小批量方式获取数据。

在下面的代码中，我们定义一个data_iter函数， 该函数接收批量大小、特征矩阵和标签向量作为输入，生成大小为batch_size的小批量。 每个小批量包含一组特征和标签。

In [6]:

def data_iter(batch_size, features, labels):
    num_examples = len(features)
    indices = list(range(num_examples))
    # 这些样本是随机读取的，没有特定的顺序
    random.shuffle(indices)
    for i in range(0, num_examples, batch_size):
        batch_indices = torch.tensor(indices[i: min(i + batch_size, num_examples)])
        yield features[batch_indices], labels[batch_indices]

def data_iter(batch_size, features, labels): num_examples = len(features) indices = list(range(num_examples)) # 这些样本是随机读取的，没有特定的顺序 random.shuffle(indices) for i in range(0, num_examples, batch_size): batch_indices = torch.tensor(indices[i: min(i + batch_size, num_examples)]) yield features[batch_indices], labels[batch_indices]

我们直观感受一下小批量运算：读取第一个小批量数据样本并打印。 每个批量的特征维度显示批量大小和输入特征数。 同样的，批量的标签形状与batch_size相等。

In [7]:

batch_size = 10

for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
    print(X, '\n', y)
    break

batch_size = 10 for X, y in data_iter(batch_size, features, labels): print(X, '\n', y) break

tensor([[ 0.9896,  0.6777],
        [-0.1450, -0.0315],
        [ 0.8989,  1.0826],
        [-0.2241, -0.4923],
        [-1.8385, -0.6932],
        [ 0.8363, -0.5982],
        [ 1.2142,  1.3754],
        [ 0.6886,  0.7871],
        [-1.8484,  1.9497],
        [ 0.1064,  2.7616]]) 
 tensor([[ 3.8744],
        [ 4.0263],
        [ 2.3099],
        [ 5.4197],
        [ 2.8676],
        [ 7.9034],
        [ 1.9596],
        [ 2.9005],
        [-6.1337],
        [-4.9760]])

当我们运行迭代时，我们会连续地获得不同的小批量，直至遍历完整个数据集。 上面实现的迭代对教学来说很好，但它的执行效率很低，可能会在实际问题上陷入麻烦。 例如，它要求我们将所有数据加载到内存中，并执行大量的随机内存访问。 在深度学习框架中实现的内置迭代器效率要高得多， 它可以处理存储在文件中的数据和数据流提供的数据。

3.2.3 初始化模型参数¶

在我们开始用小批量随机梯度下降优化我们的模型参数之前，我们需要先有一些参数。 在下面的代码中，我们通过从均值为0、标准差为0.01的正态分布中采样随机数来初始化权重， 并将偏置初始化为0。

In [8]:

w = torch.normal(0, 0.01, size=(2,1), requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)

w = torch.normal(0, 0.01, size=(2,1), requires_grad=True) b = torch.zeros(1, requires_grad=True)

在初始化参数之后，我们的任务是更新这些参数，直到这些参数足够拟合我们的数据。 每次更新都需要计算损失函数关于模型参数的梯度。 有了这个梯度，我们就可以向减小损失的方向更新每个参数。 因为手动计算梯度很枯燥而且容易出错，所以没有人会手动计算梯度。 我们使用自动微分来计算梯度。

3.2.4 定义模型¶

接下来，我们必须定义模型，将模型的输入和参数同模型的输出关联起来。 回想一下，要计算线性模型的输出， 我们只需计算输入特征$\mathbf{X}$和模型权重$\mathbf{w}$的矩阵-向量乘法后加上偏置$b$。 注意，上面的$\mathbf{Xw}$是一个向量，而$b$是一个标量。 回想一下之前描述的广播机制： 当我们用一个向量加一个标量时，标量会被加到向量的每个分量上。

In [9]:

def linreg(X, w, b):  #@save
    """线性回归模型"""
    return torch.matmul(X, w) + b

def linreg(X, w, b): #@save """线性回归模型""" return torch.matmul(X, w) + b

3.2.5 定义损失函数¶

因为需要计算损失函数的梯度，所以我们应该先定义损失函数。 这里我们使用3.1节中描述的平方损失函数。 在实现中，我们需要将真实值y的形状转换为和预测值y_hat的形状相同。

In [10]:

def squared_loss(y_hat, y):  #@save
    """均方损失"""
    return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2

def squared_loss(y_hat, y): #@save """均方损失""" return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2

3.2.6 定义优化算法¶

这里我们介绍小批量随机梯度下降。

在每一步中，使用从数据集中随机抽取的一个小批量，然后根据参数计算损失的梯度。 接下来，朝着减少损失的方向更新我们的参数。 下面的函数实现小批量随机梯度下降更新。 该函数接受模型参数集合、学习速率和批量大小作为输入。 每一步更新的大小由学习速率lr决定。 因为我们计算的损失是一个批量样本的总和，所以我们用批量大小（batch_size） 来规范化步长，这样步长大小就不会取决于我们对批量大小的选择。

In [11]:

def sgd(params, lr, batch_size):  #@save
    """小批量随机梯度下降"""
    with torch.no_grad():
        for param in params:
            param -= lr * param.grad / batch_size
            param.grad.zero_()

def sgd(params, lr, batch_size): #@save """小批量随机梯度下降""" with torch.no_grad(): for param in params: param -= lr * param.grad / batch_size param.grad.zero_()

3.2.7 训练¶

现在我们已经准备好了模型训练所有需要的要素，可以实现主要的训练过程部分了。

• 在每次迭代中，我们读取一小批量训练样本，并通过我们的模型来获得一组预测。
• 计算完损失后，我们开始反向传播，存储每个参数的梯度。
• 最后，我们调用优化算法sgd来更新模型参数。

概括一下，我们将执行以下循环：

• 初始化参数
• 重复以下训练，直到完成
  • 计算梯度$\mathbf{g} \leftarrow \partial_{(\mathbf{w},b)} \frac{1}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} l(\mathbf{x}^{(i)}, y^{(i)}, \mathbf{w}, b)$
  • 更新参数$(\mathbf{w}, b) \leftarrow (\mathbf{w}, b) - \eta \mathbf{g}$

在每个迭代周期（epoch）中，我们使用data_iter函数遍历整个数据集， 并将训练数据集中所有样本都使用一次（假设样本数能够被批量大小整除）。 这里的迭代周期个数num_epochs和学习率lr都是超参数，分别设为3和0.03。 设置超参数很棘手，需要通过反复试验进行调整。

In [12]:

lr = 0.03
num_epochs = 3
net = linreg
loss = squared_loss

lr = 0.03 num_epochs = 3 net = linreg loss = squared_loss

In [13]:

for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
        l = loss(net(X, w, b), y)  # X和y的小批量损失
        # 因为l形状是(batch_size,1)，而不是一个标量。l中的所有元素被加到一起，
        # 并以此计算关于[w,b]的梯度
        l.sum().backward()
        sgd([w, b], lr, batch_size)  # 使用参数的梯度更新参数
    with torch.no_grad():
        train_l = loss(net(features, w, b), labels)
        print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')

for epoch in range(num_epochs): for X, y in data_iter(batch_size, features, labels): l = loss(net(X, w, b), y) # X和y的小批量损失 # 因为l形状是(batch_size,1)，而不是一个标量。l中的所有元素被加到一起， # 并以此计算关于[w,b]的梯度 l.sum().backward() sgd([w, b], lr, batch_size) # 使用参数的梯度更新参数 with torch.no_grad(): train_l = loss(net(features, w, b), labels) print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')

epoch 1, loss 0.038566
epoch 2, loss 0.000146
epoch 3, loss 0.000051

因为我们使用的是自己合成的数据集，所以我们知道真正的参数是什么。 因此，我们可以通过比较真实参数和通过训练学到的参数来评估训练的成功程度。 事实上，真实参数和通过训练学到的参数确实非常接近。

In [14]:

print(f'w的估计误差: {true_w - w.reshape(true_w.shape)}')
print(f'b的估计误差: {true_b - b}')

print(f'w的估计误差: {true_w - w.reshape(true_w.shape)}') print(f'b的估计误差: {true_b - b}')

w的估计误差: tensor([3.9339e-04, 4.4346e-05], grad_fn=<SubBackward0>)
b的估计误差: tensor([0.0012], grad_fn=<RsubBackward1>)

在机器学习中，我们通常不太关心恢复真正的参数，而更关心如何高度准确预测参数。 幸运的是，即使是在复杂的优化问题上，随机梯度下降通常也能找到非常好的解。 其中一个原因是，在深度网络中存在许多参数组合能够实现高度精确的预测。

小结¶

• 我们学习了深度网络是如何实现和优化的。在这一过程中只使用张量和自动微分，不需要定义层或复杂的优化器。
• 这一节只触及到了表面知识。在下面的部分中，我们将基于刚刚介绍的概念描述其他模型，并学习如何更简洁地实现其他模型。

练习¶

1. 如果我们将权重初始化为零，会发生什么。算法仍然有效吗？
2. 假设试图为电压和电流的关系建立一个模型。自动微分可以用来学习模型的参数吗?
3. 能基于普朗克定律使用光谱能量密度来确定物体的温度吗？
4. 计算二阶导数时可能会遇到什么问题？这些问题可以如何解决？
5. 为什么在squared_loss函数中需要使用reshape函数？
6. 尝试使用不同的学习率，观察损失函数值下降的快慢。
7. 如果样本个数不能被批量大小整除，data_iter函数的行为会有什么变化？

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